การวิเคราะห์ความแปรปรวน

การวิเคราะห์ความแปรปรวน

        ในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากร 1 กลุ่ม และ 2 กลุ่ม ตัวสถิติ ทดสอบที่ใช้คือ Z หรือ T โดยการเลือกใชต้วัสถิติทดสอบใดข้ึนอยกู่ บัวา่ ทราบความแปรปรวนของ ขอ้ มูลในประชากรน้ันหรือไม่ ตวัอย่างมีขนาดใหญ่ หรือเล็ก แต่ในกรณีที่ท าการศึกษาประชากร มากกว่า 2 กลุ่ม และต้องการทดสอบสมมติฐานว่า ค่าเฉลี่ยของประชากรแต่ละกลุ่มนั้นแตกต่างกันหรือไม่จะต้องทดสอบสมมติฐานทีละคู่ เช่นในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของ ประชากร 3 กลุ่ม จะตอ้งทา การทดสอบสมมติฐานทีละคู่จำ นวน 3 คร้ัง ดังนี้

ซึ่งจะทำให้เสียเวลาในการทดสอบสมมติฐานที่ซ้า ซ้อนเป็นอย่างมาก และประการสำคัญคือเป็นการทำค่าระดับนัยสำคัญมีค่ามากเกินไป ดังนั้น จึงมีการนำเทคนิคการวิเคราะห์ความ แปรปรวน (Analysis of Variance: ANOVA) ซึ่งเป็นการวิเคราะห์ข้อมูลที่ใช้ในการทดสอบ สมมติฐานเกี่ยวกับความแตกต่างของค่าเฉลี่ยกรณีประชากรมากกว่า 2 กลุ่ม (k กลุ่ม) โดยทำการทดสอบเพียงครั้งเดียว เช่นกรณีประชากร 3 กลุ่ม สมมติฐานเชิงสถิติเป็นดังนี้

     ถ้าผลการทดสอบสมมติฐานปฏิเสธ H0 หมายความว่ามีค่าเฉลี่ยอย่างน้อย 1 คู่ที่มีค่า แตกต่างกันซึ่ง อาจจะเป็น μ1 ≠ μ2 หรือ μ1 ≠ μ3 หรือ μ2 ≠ μ3 หรือ μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 ก็ได้ซึ่งการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มใดไม่เท่ากันนั้นเรียกวา่ การเปรียบเทียบเชิงพหุ(Multiple Comparison) ซึ่งจะกล่าวรายละเอียดต่อไป 

     การวเิคราะห์ความแปรปรวนมีด้วยกนั หลายประเภท ในเอกสารฉบับนี้จะกล่าวถึงการ วิเคราะห์ความแปรปรวนเพียง 2แบบ คือ 

1. การวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว (One-way ANOVA) 

2. การวิเคราะห์ความแปรปรวนสองทาง (Two-way ANOVA)

หลักการของการวิเคราะห์ความแปรปรวน 

     หลักเกณฑ์ที่สำ คัญในการวเิคราะห์ความแปรปรวนคือแบ่งความแปรปรวนของข้อมูล ทั้งหมดออกตามสาเหตุที่ทา ให้ข้อ มูลแตกต่างกัน คือความแปรปรวนภายในกลุ่ม (within group) และความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม (between group) โดยที่ ความแปรปรวนทั้งหมด = ความแปรปรวนภายในกลุ่ม + ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม

การวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว 

     เป็นการศึกษาปัจจัยหรือแฟคเตอร์ (factor) ที่มีผลทำให้ข้อมูลแตกต่างกันเพียงปัจจัยเดียวโดยที่ปัจจัยนั้นอาจมีหลาย ๆ ระดับเรียกระดับต่างๆ ของปัจจัยว่าทรีทเมนต์ (treatment) ดังนั้นจึงเป็นการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของข้อมูลในระดับต่างๆ ของปัจจัยนั่นเองนิยมเรียกข้อมูลว่าค่าสังเกต และหน่วยแจงนับที่ใหข้อมูลว่าหน่วยทดลอง (experimental unit) เช่น 

ตัวอย่าง 9.1 บริษทัผลิตถุงกระดาษที่ใช้ในร้านขายของชา พบว่า ความเหนียวของถุงกระดาษข้นอยู่ กับความเข้มข้นของเยื่อไม้ที่ใช้ทำ เยื่อ กระดาษ จึงทำการทดลองผลิตถุงกระดาษโดยใช้ความเข้มข้น ของเยื่อไม้ต่างกนั คือ5% 10% 15% และ 20% แล้วทำการวัดความเหนียวของถุงกระดาษที่เลือก จากแต่ละกลุ่ม ๆ ละ6 ใบ 

              ค่าสังเกต คือความเหนียวของถุงกระดาษ 

              แฟคเตอร์ คือความเข้มข้นของเยื่อไม้ 

              ทรีทเมนต์ คือความเขม้ขน้ของเยื่อไม้ต่างกัน คือ5%, 10%, 15% และ 20%  

              หน่วยทดลอง คือถุงกระดาษ 

           ลักษณะของตารางข้อมูล

     

           ลักษณะของตารางข้อมูลในรูปทั่วไป 

ลักษณะของข้อมูลที่ใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวเป็นดังนี้

เมื่อ xij แทนข้อมูลของทรีทเมนต์ที่ i หน่วยทดลองที่ j

      i = 1,2,3,…,k และ j=1,2,3,…,ni

              Ti แทนผลรวมของข้อมูลทรีทเมนต์ที่ 

T แทนผลรวมขอ้ มูลท้งัหมด

                 xi แทนค่าเฉลี่ยของข้อมูลทรีทเมนต์ที่ i

                x แทนค่าเฉลี่ยของข้อมูลทั้งหมด       

k แทนจำนวนทรีทเมนต์ 

                                             n แทนจา นวนขอ้มูลท้งัหมด เท่ากบั n1 +n2 +n3 +…+n  

     เนื่องจากการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวเป็นการศึกษาอิทธิพลของปัจจัยเดียวที่มีผลทำให้ค่าสังเกตแตกต่างกันนั้น คือข้อมูลมีความแตกต่างเนื่องจากกลุ่มที่แตกต่างเท่านั้นดังนั้นการวเิคราะห์จึงแบ่งความแปรปรวนของข้อมูลเป็นดังนี้

     1. ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม (Between Groups Sum of Square) เขียนแทนด้วย สัญลักษณ SSB 

เป็นการพิจารณาความแปรปรวนที่เกิดจากการที่ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างในแต่ละกลุ่ม แตกต่างจากค่าเฉลี่ยรวม โดยที่ 

2. ความแปรปรวนภายในกลุ่ม (Within Group Sum of Square) เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ SSE เป็นการพิจารณาความแปรปรวนที่เกิดขึ้นภายในกลุ่มแต่ละกลุ่มซึ่งไม่ทราบสาเหตุ ว่าเป็นความแปรปรวนที่เกิดจากสาเหตุใด ในบางครั้งจึงเรียกว่าความคลาดเคลื่อน (Error Sum of Square)โดยที่ 

3. ความแปรปรวนรวม (Total Sum of Square) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ SST เป็น การพิจารณาความแปรปรวนที่เกิดจากค่าสังเกตแต่ละค่าแตกต่างจากค่าเฉลี่ยรวม โดยที่

     การคำนวณ Sum of Square นอกจากจะคำนวณจากวิธีการข้างต้นแล้ว ยังมีวิธีการคำนวณที่ปรับให้ง่ายขึ้น ดังนี้

เงื่อนไขของการวิเคราะห์ความแปรปรวน

      ในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากร k กลุ่ม ด้วยเทคนิคการ วิเคราะห์ความแปรปรวน มีเงื่อนไขดังนี้

1 ประชากร k กลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ 

2 ความแปรปรวนของแต่ละประชากรเท่ากนั

3 ตวัอย่างสุ่มจากแต่ละประชากรเป็นอิสระต่อกัน

สมมติฐานในการทดสอบ

กำ หนด μ1 แทนค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มที่1 

              μ2 แทนค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มที่ 2 

                                        .

                                        .

                                        .

              μk แทนค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มที่k

สมมติฐานเชิงสถิติ 

H0 :μ1=μ2=μ3=...=μk

H0 :μ1=μ2=μ3=...≠μk  อย่างน้อย1คู่

 หรือ

H0 : ค่าเฉลี่ยของประชากรk กลุ่มไม่แตกต่างกัน

H1 : ค่าเฉลี่ยของประชากรk กลุ่มแตกต่างกันอย่างน้อย1คู่

ตัวสถิติทดสอบ และค่าวิกฤต

ตัวสถิติในการทดสอบคือ

ซึ่งคำนวณจากตารางการวิเคราะห์ความแปรปรวน (Analysis of Variance Table)หรือเรียกว่าANOVA ดังนี้

อาจารย์ผู้สอนวิชาสถิติต้องการเปรียบเทียบผลการสอบย่อยของนักศึกษา 3 กลุ่ม ได้แก่

นักศึกษาชั้น ปี1, 2 และ 3 ที่ลงทะเบียนเรียนจึงทำการเลือกตัวอย่างนักศึกษาชั้น ปี1, 2 และ 3 มา

กลุ่มละ4, 6และ5 คน ตามลำดับ จากนั้นทำการทดสอบโดยใช้ข้อสอบเดียวกันซึ่งมีคะแนนเต็ม 10

คะแนน นักศึกษาได้คะแนนสอบ ดังนี้

ให้ทดสอบว่าคะแนนเฉลี่ยของนักศึกษา 3 ชั้นปีนี้แตกต่างกัน หรือไม่ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05

จากตาราง ANOVA ตัวสถิติทดสอบ

ค่าวกิฤต

f1-a,k-1,n-k = f 0.95,2,12 = 3.89 

เนื่องจากค่าสถิติทดสอบ F=8.49 อยู่ในบริเวณปฏิเสธ HO หมายความว่าคะแนนเฉลี่ย

ของนกัศึกษาอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มจะแตกต่างไปจากกลุ่มอื่นๆ ที่ระดับนัยสำ คัญ 0.05