การประมาณค่า

การประมาณค่า

            "การประมาณค่า" คือการใช้ข้อมูลตัวอย่างประมาณค่าพารามิเตอร์หรือลักษณะของประชากร เช่น การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร การประมาณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เป็นต้น
            การประมาณค่าเป็นวิธีการทางวิเคราะห์ทางสถิติที่นอยมใช้กันมาก เช่น การประมาณเกี่ยวกับยอดขายเฉลี่ของสินค้าประเภทต่างๆ การประมาณค่าเฉลี่ย เป็นต้น ประโยชน์ของการนำค่าประมาณที่ได้จากการประมาณค่า เช่น การนำค่าประมาณที่ได้นั้นไปใช้ในการวางแผนด้านการผลิตหรือ การจัดหาให้เพียงพอ หรือเพื่อไปคำนวณค่าอื่นๆ เช่น ค่าดัชนีผู้บริโภค เป็นต้น
            การประมาณค่า แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ
                        1. การประมาณค่าแบบจุด เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรด้วยค่าเพื่อค่าเดียว การประมาณค่าแบบนี้อาจจะมีค่าเท่ากับค่าพารามิเตอร์หรืออาจมีโอกาสที่จะได้ค่าที่คาดเคลื่อนไปจากค่าพารามอเตอร์ได้มาก ทั้งนี้อยู่กับหน่วยตัวอย่างที่นำมาวิเคราะห์ (ถ้าหน่วยตัวอย่างนั้นได้มาจากการสุ่มตัวอย่างก็จะสามารถควบคลุมการคลาดเคลื่อนได้ระดับหนึ่ง) ตัวอย่างสัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าพารามิเตอร์และค่าสถิติ เช่น
                     ค่าพารามิเตอร์ ค่าสถิติ
               หนึ่งประชากร
               ค่าเฉลี่ย       μ     X
               ค่าความแปรปรวน       σ^2     s^2
               สองประชากร
               ผลต่างของค่าเฉลี่ย    μ_1 - μ_2 X_1 - X_2
                        ตัวประมาณค่าที่ดีจะต้องมีคุณสมบัติ ดังนี้
                           1.1 ความไม่เอนเอียง
                           1.2 ประสิทธิภาพ
                           1.3 ความสอดคล้องกัน
                           1.4 ความเพียงพอ

                2. การประมาณค่าแบบช่วง เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรว่าจะอยู่ในช่วงใดกล่าวคือ เป็นหาจุด 2 จุด ได้แก่ ขอบเขตล่าง  และขอบเขตบน ซึ่งจะคลุมค่าพารามิเตอร์ของประชากรด้วยความน่าจะเป็น∝1- (โดย 0<∝<1) นั่นคือ ช่วงของค่าประมาณจะแคบหรือกว้างขึ้นอยู่กับระดับของความเชื่อมั่น (1-∝ ) เช่น ถ้าระดับความเชื่อมั่นสูง ช่วงของค่าประมาณจะกว้าง (L ต่ำและ U สูง) แต่ถ้าระดับความเชื่อมั่นต่ำ ช่วงของค่าประมาณจะแคบ (L และ U มีค่าใกล้เคียงกัน)
                ระดับความเชื่อมั่น (Leval of Confidence) หมายถึง โอกาสที่ค่าพารามิเตอร์จะอยู่ในช่วงค่าที่ประมาณได้ เช่น P(L < ∝ < U) = 1-∝ หมายถึง โอกาสที่ μ จะมีค่าอยู่ในชาวง L ถึง U เป็น 1-∝ เช่น ถ้าμ คือรายได้เฉลี่ย นั่นคือ P(5,000 < μ < 10,000) = 0.95 หมายถึง โอกาสที่รายได้เฉลี่ยอยู่ในช่วง 5,000 ถึง 10,000 บาท มีอยู่ 0.95 หรือ 95% นั่นเอง เป็นต้น
               การประมาณค่าแบบช่วงจึงเป็นวิธีการวิเคราะห์ที่นิยมใช้มากกว่าการประมาณค่าแบบจุดเนื่องจากการประมาณค่าแบบช่วงจะให้ค่าประมาณที่มีโอกาสคลาดเคลื่อนไปจากค่าพารามิเตอร์น้อยกว่าค่าประมาณแบบจุด
                 การประมาณค่าแบบช่วงของค่าเฉลี่ย มีดังนี้
                          2.1 การประมาณช่วงความเชื่อมั่นค่าเฉลี่ยประชากร
                          2.2 การประมาณช่วงความเชื่อมั่นของผลต่างค่าเฉลี่ยประชากรที่เป็นอิสระกัน
                          2.3 การประมาณช่วงความเชื่อมั่นผลต่างค่าเฉลี่ยประชากรที่ไม่เป็นอิสระจากกัน

การประมาณค่า (Estimation)

     การประมาณค่า เป็นวิธีการใช้ค่าสถิติที่ได้จากตัวอย่างไปประมาณค่าพารามิเตอร์ เป็นการหาข้อสรุปที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์ ในลักษณะของการประมาณ ซึ่งมักแสดงในรูปตัวเลข เช่น ประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ประมาณค่าสัดส่วนของประชากร เป็นต้น อาจกล่าวได้ว่ากระบวนการในการประมาณค่า เป็นการนำตัวเลข ค่าสถิติที่ได้มาจากกลุ่มตัวอย่าง ไปประมาณหาค่าความจริงระดับประชากร ในเรื่องเดียวกันนั้น
     การประมาณค่ามี 2 แบบ คือ
       1. การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation)
       2. การประมาณค่าแบบช่วง (Interval Estimation)


1.การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation)

        เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรด้วยค่าเพียงค่าเดียว (Single valued Estimation หรือ Point Estimation) ซึ่งการประมาณค่าแบบนี้อาจจะมีค่าเท่ากับค่าพารามิเตอร์หรืออาจมีโอกาสที่จะได้ค่าที่คาดเคลื่อนไปจากค่าพารามิเตอร์ได้มาก ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับหน่วยตัวอย่างที่นำมาวิเคราะห์ (ถ้าหน่วยตัวอย่างนั้นได้มาจากการสุ่มตัวอย่าง ก็จะสามารถควบคุมความคลาดเคลื่อนได้ระดับหนึ่ง)
หมายเหตุ การประมาณค่าพารามิเตอร์ซึ่งเป็นลักษณะของประชากรโดยใช้ข้อมูลตัวอย่าง หรือทำการประมาณค่าพารามิเตอร์ด้วยค่าสถิติ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าพารามิเตอร์และค่าสถิติ เช่น

ค่าที่ประมาณได้จากการประมาณค่าแบบจุด จะมีลักษณะเป็นตัวเลขประมาณค่าเดียว เรียกเป็น ค่าประมาณ (estimate) เช่น ประมาณค่าเฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการรักษาพยาบาลของผู้ป่วยโรคหอบที่มารับการรักษาในโรงพยาบาลสุโขทัย เท่ากับ 4,950.-บาท

2. การประมาณค่าแบบช่วง (Interval Estimation)

       ค่าที่ประมาณได้จากการประมาณค่าแบบช่วง จะได้ช่วงของตัวเลขที่ประมาณ เรียก ช่วงการประมาณ เช่น ค่าเฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการรักษาพยาบาลของผู้ป่วยโรคหอบที่มารับการรักษา ในโรงพยาบาลสุโขทัยอยู่ระหว่าง 3,370 - 6,480. บาท ในการประมาณค่าแบบช่วง นิยมเขียนเป็นสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ แทนค่าที่ทำการประมาณโดยครอบคลุมค่าต่ำสุด - สูงสุด เช่น หากเป็นการประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร คือ µ จะเขียนเป็น a < µ < b เรียกค่า a และ b ว่า ค่าต่ำสุด และค่าสูงสุดของช่วงประมาณ µ ในการประมาณค่าแบบช่วง นอกจาก ขึ้นอยู่กับค่าที่ต้องการประมาณ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่ต้องการประมาณแล้ว ยังขึ้นกับระดับความเชื่อมั่น (confidence level) อีกด้วย ระดับความเชื่อมั่นนี้ จะเป็นค่าที่บอกเราว่า ช่วงประมาณที่สร้างขึ้นจะครอบคลุมค่าพารามิเตอร์ด้วยความน่าจะเป็นมากน้อยเพียงใด
        ช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) หมายถึง ช่วงของค่าประมาณที่ประกอบไปด้วยค่าต่ำสุด (a) และค่าสูงสุด (b) ที่คำนวณขึ้นมา ช่วงดังกล่าวจะคลุมค่าของพารามิเตอร์ ด้วยความน่าจะเป็นตามที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ช่วงความเชื่อมั่น 90% ของค่าใช้จ่ายโดยเฉลี่ยของผู้ป่วยโรคหอบที่มารับการรักษา ในโรงพยาบาลสุโขทัย อยู่ระหว่าง 3,370 - 6,480.-บาท หมายถึงว่า “มีความมั่นใจ 90% ที่ช่วงของการประมาณค่าใช้จ่ายโดยเฉลี่ยที่ได้ (3,370 - 6,480.-บาท) จะครอบคลุมค่าใช้จ่ายที่เป็นค่าเฉลี่ยจริงของผู้ป่วย” ที่ระดับบความเชื่อมั่นนี้ จะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ (1-α)100% โดยที่ 0 < α < 1 และเรียกค่า 1-α ว่า สัมประสิทธิ์ของความเชื่อมั่น (confidence coefficient)

การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร

        1.การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มเดียว

               การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มเดียวแบบจุด

Ex.1จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงประมาณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้
วิธีทำ

Ex.2 นักวิจัยผู้หนึ่ง ต้องการศึกษาระยะการตั้งครรภ์ของประชาชนในเขตอำเภอรอบนอกของจังหวัดสุโขทัย จึงทำการสุ่มตัวอย่างมารดาที่มาฝากครรภ์และคลอดบุตรที่โรงพยาบาล จำนวน 100 ราย พบว่ามีค่าเฉลี่ยระยะการตั้งครรภ์เป็น 275 วัน หากทราบว่าโดยทั่วไปทารกจะมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของระยะการตั้งครรภ์เป็น 10 วัน จงประมาณระยะการตั้งครรภ์เฉลี่ยของประชาชนนี้ (กำหนดระดับความเชื่อมั่น 95%)

           วิธีทำ   กลุ่มตัวอย่าง 100 ราย ทราบความแปรปรวนของประชากร (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10)

Ex.3 นักวิจัยผู้หนึ่งต้องการศึกษาถึงผลกระทบของการใช้ยาแอสไพรินของคนงานในโรงงาน กับการเป็นโรค จึงได้ทำการสุ่มตัวอย่างคนงานในโรงงานแห่งหนึ่ง จำนวน 20 ราย ทำการวัดระดับ creatinine พบว่ามีค่าเฉลี่ยเป็น 1.5 ความแปรปรวน 0.25 จงประมาณค่าเฉลี่ยระดับ creatinine ของคนงานในโรงงานนี้ (กำหนดระดับความเชื่อมั่น 90%)
    วิธีทำ   กลุ่มตัวอย่าง 20 ราย ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน .5)